全增量和全微分公式

有家健康网 2025-04-13阅读量：5208

全增量和全微分是高等数学中描述函数局部变化的重要概念，以下是相关公式的

一、全增量公式

对于二元函数 $z = f（x, y）$，在点 $（x_0, y_0）$ 处，当自变量 $x$ 和 $y$ 分别有增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 时，函数的全增量 $\Delta z$ 定义为：$$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$$

全增量反映了函数在点 $（x_0, y_0）$ 附近因自变量变化引起的实际变化量。

二、全微分公式

若函数 $z = f（x, y）$ 在点 $（x_0, y_0）$ 处可微，则全微分 $dz$ 存在，其计算公式为：$$dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \Delta y$$

其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别是函数对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。全微分表示函数增量的线性近似部分。

三、全微分的性质

1. 线性性 ：全微分是关于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的线性函数。

   

2. 可微与可导的关系 ：函数在某点可微，则在该点可导；反之，可导不一定可微。

四、全增量与全微分的关系

全微分是全增量的线性主部，即当 $\rho = \sqrt{（\Delta x）^2 + （\Delta y）^2} \to 0$ 时，全增量与全微分的差是比 $\rho$ 高阶的无穷小：$$\Delta z = dz + o(\rho)$$

其中 $o（\rho）$ 表示 $\rho \to 0$ 时比 $\rho$ 高阶的无穷小量。

五、示例计算

以函数 $z = 5x^2 + y^2$ 在点 $（1, 2）$ 为例：

1. 计算全增量：$$\Delta z = f(1.05, 2.1) - f(1, 2) = 5(1.05)^2 + (2.1)^2 - (5 \cdot 1^2 + 2^2) = 0.9225$$

2. 计算全微分：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 10x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$$$dz = \left. \left( 10x \cdot \Delta x + 2y \cdot \Delta y \right) \right|_{(1,2)} = 10 \cdot 0.05 + 4 \cdot 0.1 = 0.9$$