cosθ的公式

有家健康网 2025-04-10阅读量：8062

关于cosθ的公式，根据应用领域不同，主要分为以下几种情况：

一、直角三角形中的定义

在直角三角形中，cosθ表示邻边与斜边的比值。若∠C=90°，则：$$\cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{AC}{AB}$$

这是余弦函数的基本定义。

二、平面向量的夹角公式

对于两个非零向量$\mathbf{a}=（x_1, y_1）$和$\mathbf{b}=（x_2, y_2）$，其夹角θ的余弦值计算公式为：$$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}$$

其中：

• 点积$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

• 向量模长$|\mathbf{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$，$|\mathbf{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$。

三、空间向量的夹角公式

对于三维向量$\mathbf{a}=（x_1, y_1, z_1）$和$\mathbf{b}=（x_2, y_2, z_2）$，夹角θ的余弦值为：$$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}$$

其中点积和模长计算方式与二维向量相同，但需扩展到三维空间。

四、一般夹角公式（适用于直线或向量）

对于两条直线或向量，其夹角θ（范围0 ≤ θ ≤ π）的余弦值公式为：$$\cos \theta = \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

其中向量$\mathbf{a}=（A_1, B_1）$和$\mathbf{b}=（A_2, B_2）$。

总结

cosθ的公式需根据具体几何场景选择：

• 直角三角形：$\cos A = \frac{邻边}{斜边}$

• 平面向量：$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}$

• 空间向量：同样适用点积与模长公式

• 直线夹角：$\cos \theta = \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$